[GrandPublic] Euclide

Euclide

Première fois que je fais une biographie sur un mathématicien.
Notez que ce post est accessible à tout le monde, mais que le deuxième n'est accessible/compréhensible qu'au 3è et plus .

Premièrement, j'aimerais vous donner une citation non peu d'Euclide lui même, mais une citation qui représente assez bien la pensée d'Euclide.

Citation a dit :

Ce qui peut être affirmé sans preuve peut être nié sans preuve

Biographie

On ne connaît pas beaucoup d'Euclide en ce qui concerne sa vie. On sait que c'est un mathématicien de la Grèce Antique qui a vécu au IIIè siècle avant notre ère. Voici l'une des représentations les plus communes de ce dernier, bien qu'il ne soit pas fiable car il a vécu il y a trop longtemps.

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/30/Euklid-von-Alexandria_1.jpg

L'oeuvre de sa vie

Cependant, on sait que c'est l'un des plus grands mathématiciens de l'Antiquité. Et pour cause, ses travaux sont remarquables. C'est la permière personne qui a voulu poser les fondements des mathématiques, car oui, en sciences, on ne fait rien à partir de rien (comme le dit Cédric Villani dont je parlerais plus tard) Il a écrit treize volumes de mathématiques, nommés les Eléments de mathématiques. Les Eléments d'Euclide est le deuxième livre le plus imprimé au monde après la Bible et il existe des centaines d'éditions différentes.

Je ne vais pas rentrer dans le détail, mais vous indiquer comment Euclide a construit sa théorie. Il est parti de ce qu'on appelle des axiomes.

Par exemple, le théorème de Pythagore (cliquez dessus si vous voulez voir le topic sur celui ci), pour le démontrer, il faut partir d'autres propriétés, par exemple, je suis parti de la propriété qu'une translation (un mouvement en gros) garde les mêmes longueurs de la figure, peu importe, mais il faut démontrer cette propriété, et pour démontrer cette propriété il faut partir d'une autre propriété qu'il faut à nouveau démontrer. Bref, c'est un jeu sans fin.

Pour faire des mathématiques, il faut admettre des vérités comme vraies sans le démontrer.

Voici les axiomes qu'Euclide utilisait : il n'y en avait que 5 :
-Par deux points distincts, il existe une seule droite et une seule

-Tout segment est prolongeable en une droite

-Par deux points distincts donnés, il passe un seul cercle de centre le premier point et passant par le second.

-Tous les angles droits sont égaux entre eux

-Par un point extérieur à une droite, il passe une et une seule droite parallèle à la droite donnée

Le cinquième axiome a posé quelques problèmes. Pendant longtemps on a voulu le déduire des quatre autres axiomes. Mais on n'y arrivait pas. En fait, c'est parce qu'il est nullement évident. On a découvert d'autres géométries, dites non euclidiennes, qui ne respectent pas cet axiome. Mais je ne vais pas rentrer dans les détails. En fait, la géométrie plane, sur "papier" est appelée géométrie Euclidienne en l'honneur d'Euclide

Pour terminer, voici une conférence d'un mathématicien du nom d'Etienne Ghys

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Partie II : Euclide

Une partie plus rigoureuse, accessible seulement aux 3èmes et plus

Démonstrations

Euclide a introduit ce que l'on appelle la démonstration par l'absurde. Une démonstration absurde est une démonstration dans laquelle on suppose le contraire de ce que l'on veut démontrer et l'on montre que cela aboutit à une contradiction.

Par exemple, démontrons que pour tout nombre n, n+1 > n
Supposons qu'il existe un nombre n tel que n = n+1 (supposition du contraire)
Alors n-n = n-n+1
n-n = 0
0 = 1
Contradiction
Supposons qu'il existe un nombre n tel que n+1 < n
n+1 < n ⇔ n+1-n < n-n
1 < 0
Contradiction
Bien sûr cette démonstration n'est pas très rigoureuse, mais c'est pour donner une idée de ce genre de démonstrations.

En fait, si une propriété, qu'on notera P(n), est vraie, alors cela revient à dire que le contraire de P(n) est faux. Du coup, pour démontrer que le contraire est faux, on suppose qu'il est vrai et qu'on aboutit à une contradiction.

Premier exemple

Maintenant, démontrons que √2 est un nombre irrationnel, c'est à dire qu'il ne peut pas s'exprimer sous une fraction de deux entiers.
On va démontrer qu'il ne peut pas s'exprimer sous une fraction de deux entiers. On va démontrer qu'il n'est donc pas rationnel. Pour cela, on va faire une démonstration par l'absurde.

Supposons que √2 = p/q où p/q est une fraction irréductible, c'est à dire que p et q n'ont pas de diviseurs communs à part 1. Dans ce cas, p = (√2 × q) et p² = p × p = (√2 × q) × (√2 × q) = 2 × q² = 2q²
Donc p² est un multiple de 2.

Si vous comprenez je vous invite à poursuivre le raisonnement et d'essayer vous même avant de continuer si vous n'avez jamais fait cette démonstration ou si vous ne l'avez jamais vue.

Si p² est un multiple de 2 alors p² est pair et p est pair, car si p est impair alors p² est impair. On va le démontrer dans le spoiler, mais c'est un peu difficile si vous ne savez pas trop manier les identités remarquables.

Démonstration

Comme p est pair, alors il s'écrit de la forme 2r. p² = 2q² = (2r)² donc 4r² = 2q² et 2r² = q²
Avec le même raisonnement que précédemment, on déduit que q est pair et est donc un multiple de 2.

p/q n'est pas irréductible car p et q sont divisibles par 2.
Contradiction

Si votre cerveau ne surchauffe pas, on va continuer.

Le rapport avec Euclide

Euclide, de la même manière, a montré qu'il y a une infinité de nombres premiers. Un nombre premier est un nombre qui a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. Les nombres premiers sont les briques de base des nombres puisque tout nombre non premier est décomposable en produit de nombres premiers.

Dire qu'il y a une infinité de nombres premiers est équivalent à dire que le nombre de nombre premiers n'est pas fini.
Supposons qu'il y a un nombre de nombres premiers fini, on les note p1, p2, p3,p4,..., pn (où n est un nombre)

Faisons la multiplication de p1 × p2 × p3 × ... × pn. On note le produit K.
Maintenant, considérons L = K+1.
Le plus petit nombre premier est 2. Cela fait que L > pn et pn est le plus grand nombre premier (puisqu'il y en a un nombre fini).

Donc L n'est pas un nombre premier.
Or, tout nombre non premier se décompose en produit de nombres premiers. Comme K est un multiple de tous les nombres premiers, L n'est multiple d'aucun nombre premier à cause du 1 qui a été ajouté, de plus tout les nombres premiers sont strictement supérieurs à 1.

Cela signifie que L est un nombre premier. Mais avec notre hypothèse de départ, on a déduit que L n'est pas premier.
Contradiction.

C'est sur cette démonstration que les noeuds qui sont dans vos neurones vont disparaître (enfin...)

Essayez de me démontrer qu'il y a une infinité de nombres entiers positifs.

J'espère que ce topic vous aura appris des choses

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